思路点拨击破数算“同余与剩余”问题

　　在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。被除数(a)÷除数(b)=商(c)……余数(d)，其中a、b、c均为整数，d为自然数。其中，余数总是小于除数，即0≤d

　　一、同余

　　两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a、b对于m同余。

　　例如，3除以5的余数是3，18除以5的余数也是3，则称23与18对于5同余。

　　对于同一个除数m，两个数和的余数与余数的和同余，两个数差的余数与余数的差同余，两个数积的余数与余数的积同余。

　　例如，15除以7的余数是1，18除以7的余数是4

　　15+18=33，1+4=5，则33除以7的余数与5同余

　　18-15=3，4-1=3，则3除以7的余数与3同余

　　15×18=270，1×4=4，则270除以7的余数与4同余

　　【例题】

　　a除以5余1，b除以5余4，如果3a>b，那么3a-b除以5余几?

　　A.0 B.1 C.3 D.4

　　【思路点拨】此题为很明显的余数问题，因此可以直接利用同余的性质解出问题。

　　【解析】a除以5余1，则3a除以5余3 (两个数积的余数与余数的积同余)

　　b除以5余4，则3a-b除以5余-1 (两个数差的余数与余数的差同余)

　　因为余数大于0而小于除数，-1+5=4，故所求余数为4。

　　所以正确答案为D。

　　二、剩余

　　在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是，一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，问这个数最小是多少?这类问题在我国称为“孙子问题”，也称为剩余问题。关于这一问题的解法，国际上称为“中国剩余定理”。

　　以此题为例，下面中公教育专家为大家介绍一种常规的解题方法。

　　我们首先需要先求出三个数：

　　第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15;

　　第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21;

　　第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70;

　　然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233。

　　最后，再减去3、5、7最小公倍数的若干倍，即：233-105×2=23。

　　【例题】

　　一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有：

　　A.5个 B.6个 C.7个 D.8个

　　【思路点拨】此题为剩余问题。此题要求的是满足条件的三位数的个数，我们应该首先求出满足条件的最小自然数，然后加上4、5、9的最小公倍数的若干倍，使之成为三位数即可。

　　【解析】首先看后两个条件，很容易看出7是满足条件的最小的自然数，而7正好也满足第一个条件。4、5、9的最小公倍数为180，因此满足条件的三位数形式为7+180n，n为自然数，要使7+180n为三位数，则n=1、2、3、4、5，满足条件的三位数有5个。所以正确答案为A。