数学运算——容斥原理问题
1. (单选题)
一学校的750名学生或上历史课，或上算术课，或两门课都上。如果有489名学生上历史课，606名学生上算术课，问有多少学生两门课都上?( )。
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDQy)
A.
117
B.
144
C.
261
D.
345
<未作答>
参考答案:
D
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
解法一：
设两门课都上的学生有x人。
(原因:因为学数学的和学历史的人数和为1095人，但是全年级只有750人，这就说明有一部分同学是两科都学的，也就把两科都学的人算了两遍，所以只要减去年级总人数，剩下的就是两科都学的人数。)
解法二：
解设两门都上的人有
人，只学数学的人有
人，只学历史的人有
人。
①
②
③
1 -②得，
把
代入③中，得
。
所以，选D。
解法三：
直接用尾数法快解，秒杀题。
，尾数为5的只有D。(该解析由用户“估计考不上”于2010-12-02 13:04:48贡献，感谢感谢!)
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 两个集合容斥关系
2. (单选题)
五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人?( )
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDQz)
A.
30
B.
35
C.
57
D.
65
<未作答>
参考答案:
A
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
此题是典型的两个集合的容斥问题，由题意设：
A={{语文成绩优秀的人}};
B={{数学成绩优秀的人}};
因此，
={{五年级参加语文、数学考试的人}};
={{语文和数学都优秀的人}}
由两个集合的容斥原理可得：
=
=
所以，选A。
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 两个集合容斥关系
3. (单选题)
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组一共有多少人?( )
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDQ0)
A.
25
B.
32
C.
33
D.
41
<未作答>
参考答案:
C
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
根据题意，设：
A={{会拉手风琴的}}，
B={{会弹电子琴的}}，
因此
={{文艺组的人}}，
={{两样都会的}}，
由两个集合的容斥原理可得：
=
。
所以，选C。
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 两个集合容斥关系
4. (单选题)
现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有( )。
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDQ1)
A.
27人
B.
25人
C.
19人
D.
10人
<未作答>
参考答案:
B
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
解法一：
A={{物理实验做正确的人}};
B={{化学实验做正确的人}}
={{至少做对一种的人数}};
={{两种实验都做对的人}}
根据容斥原理可得：
，
代入得：
。
则
，
所以，选B。
解法二：
由题意知，两种试验都做错的有4人，则至少做对一种的有46人。
而题目已经告知有40人做对物理实验，则说明有6人只做对化学试验。
同时有31人作对化学试验，则说明有15人只做对物理实验而做错了化学实验。
所以题目的解答为:50-4(全做错)-15(物理对化学错)-6(化学对物理错)=25人。
所以，选B。
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 两个集合容斥关系
5. (单选题)
(2008广东，第13题)60个人上身着白上衣或黑上衣，下身着蓝裤子或黑裤子。其中有12个人穿白上衣蓝裤子，有34个人穿黑裤子，有29个人穿黑上衣，求身着黑裤子黑上衣多少人?( )
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDQ2)
A.
13
B.
14
C.
15
D.
20
<未作答>
参考答案:
C
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
解法一：
根据题意，设穿黑裤子黑上衣的人数有x人。
根据公式“黑裤子数+黑上衣数-黑裤子黑上衣数=总数-白衣服蓝裤子数”可得:
，
解得
。
所以，选C。
解法二：
根据题意，设上衣分别为 1、2，裤子分别为 3、4。
总共4种穿衣的情况：
;
;
又因为：
，
，
，
;
所以，可得：
所以，选C。
解法三：
根据题意，可知：
60名运动员中有34人穿黑裤子，则剩下的60-34=26人穿蓝色裤子。
而穿蓝色裤子的26人中有12人穿白上衣，那么剩下的26-12=14人穿黑上衣且蓝裤子
又穿黑上衣的29人中有14人穿蓝裤子，那么剩下的人穿黑裤子且黑上衣，有29-14=15人。
如图所示：
所以，选C。
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 两个集合容斥关系
6. (单选题)
(2006国考B类)某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语;有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语;有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多：
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDQ3)
A.
1人
B.
2人
C.
3人
D.
5人
<未作答>
参考答案:
C
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
根据题意，设：
=会说英语的人=6，
=会说法语的人=5，
=会说西班牙语的人=5，
=会说英语和法语的人=3，
=会说法语和西班牙语的人=2，
=会说西班牙语和英语的人=2，
=三种语言都会说的人=1。
根据题意，观察下边文氏图，可知，
所求为：
。
根据公式：
。
因此，所求为：
。
所以，选C。
按照题意依次填入图中数据，则可知：
只会说一种外语的有
(人)，
一种外语也不会的有2人，
则只会说一种外语的比一种外语都不会说的多3人，
所以，选C。
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 三个集合容斥关系
7. (单选题)
开运动会时，高一某班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛。问同时参加田径和球类比赛的有多少人?( )
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDQ4)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
<未作答>
参考答案:
C
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
解法一：
根据题意，设：
参加游泳为
，
参加田径为
，
参加球类为
，
参加游泳和田径比赛的为
，
参加游泳和球类比赛的为
，
参加三项比赛的为
，
所求参加田径和球类比赛的为：
;
由三个集合的容斥原理可以得到，同时参加田径和球类比赛的有：
人。
解法二：
设同时参加田径和球类比赛共有
人，
参加游泳为
，
参加田径为
，
参加球类为
，
由“容斥原理”构建方程有：
，
解得
=3。
因此，同时参加田径和球类比赛共有3。
所以，选C。
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 三个集合容斥关系
8. (单选题)
调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，47人看过乙片，63人看过丙片，24人三部都看过，20人一部也没有看过，问只有看过其中两部的有多少人?( )
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDQ5)
A.
69
B.
65
C.
57
D.
46
<未作答>
参考答案:
D
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
考查文氏图运算。
甲乙丙中至少看过一部电影的有：
。
假设只看过一部的有
人，只看过两部的有
人，则有：
1
;
1
。
由①②可得：
，
，
则只看过两部的有46人，
所以，选D。
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 三个集合容斥关系
9. (单选题)
(2005国家一类，第45题)对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人?( )
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDUw)
A.
22人
B.
28人
C.
30人
D.
36人
<未作答>
参考答案:
A
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
解法一：
将题目条件代入下面三集合文氏图，凭借各部分加减关系依次标上相应数据：
我们看最后一个图：
三个圆一共是100人，除去“喜欢球赛”的58个人，从图中可以看出只剩下三部分的人数应该为
人。
而这三部分有两部分在图中已经标出分别为4人和16人，
所以最后一部分“只喜欢电影”的人数应该是42-20=22人
解法二：
本题可以利用“两集合标准型核心公式”直接计算，
根据公式“喜欢看球赛的人数+喜欢看戏剧的人数-既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的人数=总数-既不喜欢看球赛又不喜欢看戏剧的人数”可得：
，
解得，
。
这22人既不喜欢看球赛又不喜欢看戏剧，就是只能喜欢看电影的人数了。
解法三：
根据题意，设既喜欢看电影又喜欢看球赛的为x人 则有：
解得，
则只喜欢看电影的人为：
。
所以，选A。
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 三个集合容斥关系
10. (单选题)
(2008浙江)小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都做对的题目至少有几题?
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDUx)
A.
4题
B.
8题
C.
12题
D.
16题
<未作答>
参考答案:
A
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
本题可以解读为：做错的题目最多会有多少道。
小明答错的为32题，
小刚答错的为42题，
小红答错的为22题，
当他们三人答错的题目各不相同的时候，错题的数量最大。
所以错题最多是
道，也就是至少有100-96=4道题目是三人全对的。
因此，选A。
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 三个集合容斥关系
11. (单选题)
(2007国家，第55题)一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息，要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都待在屋里。期间，不下雨的天数是12天，他上午待在旅馆的天数为8天，下午待在旅馆的天数为12天，他在北京共待了多少天?( )
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDUy)
A.
16天
B.
20天
C.
22天
D.
24天
<未作答>
参考答案:
A
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
解法一：
设这个人在北京共待了n天，其中12天不下雨，那么n-12天下雨。
根据公式“上午待在旅馆的天数+下午待在旅馆的天数-上下午都待在旅馆的天数(就是下雨的天数)=总天数-上下午都不待在旅馆的天数(根据题意不存在这样的一天)”可得：
8+12-(n-12)=n-0，
解得n=16。
解法二：
设游客在京期间下雨天数为x。
因为他上午待在旅馆的8天中包括两部分：因下雨无法出去的天数(x)和因下午出去游玩而休息的天数(8-x);
同理，下午待在旅馆的12天中包括两个部分：因下雨无法出去的部分(x)和因上午出去游玩而休息的部分(12-x)。
由题意可得：(8-x)+(12-x)=12
解得x=4，
所以一共在北京待了16天。
所以，选A。
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 三个集合容斥关系
12. (单选题)
某班参加体育活动的学生有25人，参加音乐活动的有26人，参加美术活动的有24人，同时参加体、音乐活动的有16人，同时参加音、美活动的有15人，同时参加美、体活动的有14人，三个组织都参加的有5人，这个班共有多少名学生参加活动?( )
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDUz)
A.
24
B.
26
C.
30
D.
35
<未作答>
参考答案:
D
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
典型的三个集合的容斥问题，
参加体育活动的学生为
;
参与音乐活动的学生为
;
参与美术活动的学生为
;
参与体、音活动的学生为
;
参与音、美活动的学生为
;
参与美、体活动的学生为
;
三个组织都参加的学生为
;
所要求的是
由三个集合的容斥原理可以得到，这个班参加活动的学生有
=
人。
所以，选D
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 三个集合容斥关系
13. (单选题)
实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅?( )
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDU0)
A.
6
B.
10
C.
16
D.
20
<未作答>
参考答案:
A
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
28幅不是五年级的，也就是六年级+其他年级=28幅;
24幅不是六年级的，也就是五年级+其他年级=24幅;
上述两个式子相加得：(五年级+六年级)
其他年级
，
因此，其他年级的=
幅;
又因一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅，
因此一、二年级参展的书法作品共有
幅。
所以，选A。
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 三个集合容斥关系
14. (单选题)
(2005国家二类，第45题)外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有多少人?( )
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDU1)
A.
4人
B.
5人
C.
6人
D.
7人
<未作答>
参考答案:
B
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
“由中间向外围”进行数据标记，进行简单加减运算，如下图过程所示：
[注释]本题中注意两个非常重要的要点：
(1)题中表述的“只能教……”与其他题目可能存在的“能教……”是两个完全不同的概念，标数字的时候切记区别;
(2)本题首句表明“这27个人中不存在三种语言都不教的人”，而其他一些题目可能存在三个条件都不满足的情形，计算的时候切记区别。
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 三个集合容斥关系
15. (单选题)
如右图，三个图形共覆盖的面积为290，其中X、Y、Z的面积分别为64、180、160。X与Y、Y与Z、Z与X的重叠面积分别为24、70、36，求阴影部分面为( )。
(该题来自91UP快学堂，查看题目详解请访问 http://91up.com/question/MTE0Ni0xMTc2NDU2)
A.
12
B.
16
C.
18
D.
20
<未作答>
参考答案:
B
本题得分:
0(总分: 1)
题目详解:
由题意可知，假设阴影部分面积为
，设
分别为相对应X、Y、Z、XY重叠部分、YZ重叠部分、XZ重叠部分的面积，
则覆盖住桌面的总面积为：
解得
=16。(注意利用尾数法简便计算)。
所以，选B
考查点:
数量关系 > 数学运算 > 容斥原理问题 > 三个集合容斥关系
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