行测数学运算解题技巧之化归思想

　　行测数学运算解题技巧之化归思想

　　化归思想—从复杂到简单，从陌生到熟悉：化归思想是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题进行转化，从而可以快速解决问题的数学思想，其核心为：

　　将复杂问题转化为简单问题;将难解的问题转化为容易求解的问题;将未解决的问题转化为已解决的问题。

　　化归思想解题方法目录

　　换元法

　　构造法

　　逆推法

　　应用化归思想解题的一般步骤为：

　　1.将一个陌生的数学问题通过某种途径转化为熟悉的问题;

　　2.求解这个熟悉问题;

　　3.通过熟悉问题的解答进而得到原问题的解答。

　　如下图所示：

　　

 

　　(一)换元法

　　换元法是指用一个或者多个变量去替换一个或者一些算术式子或者变量，从而使运算过程和解题过程得到简化的方法。

　　换元的实质是转化，是将两个不同的数学量进行等量代换，其最终目的是要通过变换研究对象，将原对象相关问题转化为新对象相关问题去研究，使原来不标准的问题变得标准化、复杂问题变得简单化。

　　需要记住的是，在换元过程中一定要保证原问题和新问题的等价性，对于新变量的取值范围一定要慎重。

　　例题1：

　　甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?

　　A.21元 B.11元 C.10元D.17元

　　【解析】此题是一道常规的计算题，涉及三种物品和两种情况，直接列方程即可。由于未知数的个数多于等式的个数，因此所得的方程为不定方程组，求解起来比较困难，如果利用换元法，将不定方程组转化为我们熟知的二元一次方程组，问题就迎刃而解了。

　　设签字笔、圆珠笔、铅笔的单价分别为x元、y元、z元，则可以得到

　　原问题：3x+7y+z=32 4x+10y+z=43;

　　如果我们假设m=x+y+z，n=x+3y，则原问题可以化为

　　新问题：m+2n=32 m+3n=43。

　　求解新问题可得：m=10，n=11。

　　而m=10元正好是题目所要求的答案。

　　所以正确答案为C。

　　(二)构造法

　　构造法是指根据题设条件或者结论所具有的特征，利用数学知识的转化，构造出满足条件的数学模型，并借助这个数学模型来解决实际问题的方法。常用的数学模型有函数、公式、方程、不等式、图象、其他复杂的数学模型等。

　　构造法是一种富有创造性的解题方法，它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想，需要考生全面掌握数学基础知识并灵活运用。

　　例题2：

　　某部队战士排成了一个6行、8列的长方阵。现在要求各行从左至右1，2，1，2，1，2，1，2报数;再各列从前到后1，2，3，1，2，3报数。问在两次报数中，所报数字不同的战士有：

　　A.18个 B.24个 C.32个 D.36个

　　【解析】此题是以方阵为背景的化归问题，关键在于构造出符合题目情景的方阵模型。显然报数是有规律可言的，将每个人报的数标注在构造的方阵上，观察其中的规律即可。

　　依题意构造出方阵表格(其中两次报数数字相同的标上“√”)：

　　

 

　　观察前几列可以看出，对于每一列而言，报1的有2人;对于每一行而言，报1的有4个人，故而两次均报1的有2×4=8人。同理可得，两次均报2的也有2×4=8人。所以，报数不同的战士有6×8-8-8=32人。正确答案为C。

　　例题3：

　　A、B两村庄分别在一条公路L的两侧，A到L的距离|ACL|为1公里，B到L的距离|BD|为2公里，C、D两处相距6公里，欲在公路某处建一个垃圾站，使得A、B两个村庄到此处处理垃圾都比较方便，应建在离C处多少公里?

　　

 

　　A.2.75 B.3.25 C.2 D.3

　　【解析】若使A、B两村庄到此地处理垃圾都很方便，需要使得两者到垃圾站的距离相等。依题意构造如右图几何模型，利用平面几何的知识解决。

　　

 

　　如图所示，AC2+CE2=DE2+BD2，设CE长为x公里，有1+x2=4+(6-x)2，求得x=3.25，所以正确答案为B。

　　(三)逆推法

　　逆推法是指从问题的结果出发，一步一步进行逆向推理，逐步推出最初状态的方法。如果问题从正面直接考虑，可能会因为数据之间关系复杂，无法很快得出答案，此时利用逆推法，从反向入手，“化复杂为简单”，大大简化解题步骤。

　　一般来说，逆推法在操作还原问题中应用较多。

　　例题4：

　　现有A、B、C三通油，先把A的1/3倒入B桶，再把B桶的1/4倒入C桶，最后把C桶的1/10倒入A桶，经过这样操作后，三桶油各为90升。问A桶原来有油多少升?

　　A.90升 B.96升 C.105升 D.120升

　　【解析】本题有初始状态出发考虑，步骤较多，不妨采用逆推法由最终状态考虑。

　　最后一步把C桶的1/10倒入A桶，那么C桶还剩下9/10为90升，则C桶倒入A桶为90÷(9/10)×(1/10)=10升，倒入前A桶有90-10=80升。这80升是把A桶的1/3倒入B桶后的存量，因此A桶原来有80÷(2/3)=120升。

　　所以正确答案为D。

　　例题5：

　　一个箱子中有若干个玩具，每次拿出其中的一半再放回去一个玩具，这样共拿了5次，箱子里还有5个玩具，箱子原有玩具的个数为：

　　A.76 B.98 C.100 D.120

　　【解析】此题是典型的操作还原问题，直接计算也可以，但是计算强度比较大。如果从最终状态一步一步往前逆推，计算就十分简单，可以按部就班地得出答案了。另外，此题还可以从玩具数的奇偶性来考虑。

　　方法一：从第五次拿完以后，一步一步地往前逆推，直至得到最初的状态。

　　第五次拿了以后：5个

　　第四次拿了以后：(5-1)×2=8个

　　第三次拿了以后：(8-1)×2=14个

　　第二次拿了以后：(14-1)×2=26个

　　第一次拿了以后：(26-1)×2=50个

　　最初的个数：(50-1)×2=98个

　　方法二：根据奇偶性，第一次拿了其中的一半再放回去一个，此时的玩具数必须是偶数，否则将无法继续下面的操作，选项中只有B项98个满足这一条件。正确答案为B。