行测数学运算解题技巧之分合思想
行测数学运算解题技巧之分合思想
分合思想—解决问题的两条路线：分合思想是指从整体或者从局部来解决问题的数学思想，它包含“分”与“合”两种思路，其中“分”是指从局部考查问题，然后从局部推出整体情况;“合”是指从整体考查问题，然后通过整体来涵盖局部的情况。
分合思想解题方法目录
分类讨论法是在解答数学问题中遇到多种情况时，对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合得解的方法。它是一种重要的解题策略，体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类讨论的思维模式为：
需要注意的是，枚举法是分类讨论的一种特殊情况，适用于那些分类情况简单的题目。
例题1：
有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号?
A.24种 B.48种 C.64种 D.72种
【解析】分类标准是使用信号等的盏数，按使用一盏、两盏、三盏、四盏等这四类情况进行分类讨论。
使用一盏灯，有A14=4种不同的信号;适用两盏灯，有A24=12种不同的信号;使用三盏灯，有A34=24种不同的信号;适用四盏灯，有A44=24种不同的信号。
依据加法原理可知，共可以表示4+12+24+24=64种不同的信号，选C。
例题2：
编一本书的书页，用了270个数字(重复的也算，如页码115用了2个1和1个5，共3个数字)，问这本书一共有多少页?
A.117 B.126 C.127 D.189
【解析】分类标准是不同位数的页码，按一位数、二位数、三位数分类讨论便于计算。
一位数1~9，共用9个数字。
二位数10~99，共用了90×2=180个数字。
还有270-9-180=81个数字，则三位数的页码共81÷3=27页，故一共有99+27=126页。
所以正确答案为B。
例题3：
整数15具有被它的十位上数字和个位上数字同时整除的性质，则在11和50之间(不包括11和50本身)具有这种性质的整数的个数有：
A.8个 B.9个 C.12个 D.14个
【解析】满足条件的整数能够被十位数字和个位数字同时整除，而十位仅仅是1-4四个数，所以按十位分类讨论比较方便。
十位数是1时，12、15符合条件;
十位数是2时，22、24符合条件;
十位数是3时，33、36符合条件;
十位数是4时，44、48符合条件。
依题意共有8个整数符合题意。
所以正确答案为A。
分步法最开始应用于生产成本的计算，在一些复杂问题中，应用分步法可以层层深入由表及里地解决问题。
分步法的思维模式有两种，一种是递进式，一种是平行式。
1.递进式
递进式是指以题目叙述为方向层层推进，将一个复杂问题的解决分解为若干步骤逐步讨论并汇总得出结论的模式。
例题4：
如图所示，圆被三条线段分成四个部分。现有红、橙、黄、绿四种涂料对这四个部分上色，假设每部分必须上色，且任意相邻的两个区域不能用同一种颜色，问共有几种不同的上色方法?
【解析】由于区域③与其余3块区域都相邻，因此第一步应该考虑区域③，有4种选法;
区域④除了跟区域③相邻外，跟其余区域无关，因此第二步应该考虑区域④，有3种选法;
最后考虑区域①和区域②，区域①有3种选法，区域②有2种选法。
根据乘法原理可知，上色的方法有4×3×3×2=72种。所以选择B。
2.平行式
平行式是指将问题分解为若干平行的问题分步解决，这些问题在一个大范畴下是互相影响并有一定主次的模式。
例题5：
用六位数字表示日期，如980716表示的是1998年7月16日。如果用这种方法表示2009年的日期，则全年中六个数字都不相同的日期有多少天?
A.12 B.29 C.0 D.1
【解析】题目问的是有多少天，实际问的是不同的情况数，所以我们以分步分类的思想考虑。构成题目要求的六位数是一个日期，而这个日期可分为三部分--年、月、日。其中年比月容易确定，月份比日期容易确定，所以以这个主次结构分步讨论。每一步分类的标准是六个数字各不相同，凡符合此条件的都将列入并逐步筛选。
年份09是确定的，直接讨论符合要求的月份的数字。由于月份中的数字不能与年份中重复，那么1-10月都排除(均含0)，由于11与自身重复，只能选择12。在确定日期的时候由于不能与0、1、2重复，那么最小的日期为34号，这与实际不符，因此没有符合题意的日期。
所以正确答案为C。
整体讨论是在解题过程中不拘泥于局部的处理，而是根据数学题目自身结构的特殊性，从整体的角度去观察分析，灵活变换条件或结论，对条件或结论进行处理的方法。
解部分数学运算应用题时，往往需要从整体把握，忽略一些无关结果的细节，则能达到事半功倍的效果。
例题6：
把自然数1、2、3、4、5……98、99分成三组，如果每组数的平均数恰好相等，那么此平均数为：
A.55 B.60 C.45 D.50
例题7：
一名外国游客到北京旅游。他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息;要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在旅馆里。期间，不下雨的天数是12天，他上午呆在旅馆的天数为8天，下午呆在旅馆的天数为12天，他在北京共呆了：
A.16天 B.20天 C.22天 D.24天
【解析】本题信息比较单一，直接整体考虑游玩和在旅馆的天数即可，无需讨论下雨或者不下雨的情况。
不下雨的天数是12天，则有12个半天出去游玩。在旅馆的天数为8+12=20个半天，故总天数为12+20=32个半天，即16天。所以正确答案为A。
例题8：
某校初一年级共三个班，一班与二班人数之和为98，一班与三班人数之和为106，二班与三班人数之和为108，则二班人数为：
A.48 B.50 C.58 D.60
【解析】本题可以列三元一次方程组逐个求解，但比较繁琐。若从整体考虑，二班人数等于全体人数减去一班与三班人数之和，利用这个数量关系，可以快速求得结果。
(98+106+108)÷2-106=50人。所以正确答案为B。
