数学运算之不定方程问题知识框架

知识框架

　　数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。不定方程问题是计算问题中算式计算里面的一种。

　　

　　公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。解答不定方程时，一定要找出题中明显或隐含的限制条件，从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解题思路，掌握解题方法，就能轻松搞定不定方程问题。

　　

核心点拨

　　1、题型简介

　　未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。通常只讨论它的整数解或正整数解。

　　在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

　　2、核心知识

　　形如，， 的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。这些方程的解是不确定的，我们通常研究：

　　a.不定方程是否有解？

　　b.不定方程有多少个解？

　　c.求不定方程的整数解或正整数解。

　　（1）二元一次不定方程

　　对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：

　　定理1：

　　二元一次不定方程，

　　A.若其中，则原方程无整数解；

　　B.若，则原方程有整数解；

　　C.若，则可以在方程两边同时除以，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为B的情形。

　　如：方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解。

　　定理2：

　　若不定方程有整数解，则方程有整数解，此解称为特解。

　　方程的所有解（即通解）为（k为整数）。

　　（2）多元一次不定方程（组）

　　多元一次不定方程（组）可转化为二元一次不定方程求解。

　　例：

　　  

　　②－①消去x得y+2z=11    ③

　　③的通解为，k为整数。

　　所以x=10－y－z=4－k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5。

　　（3）其他不定方程

　　3、核心知识使用详解

　　解不定方程问题常用的解法：

　　（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等； 　　

　　（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解； 　　

　　（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解； 　　

　　（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解； 　　

　　（5）无穷递推法。

　　（6）特殊值法：已知不定方程（组），在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。

习题精练

　　学完知识点后就应该进行实战演练了，自我检测中的题目是公务员考试资料网针对本条知识精选出来的典型题目。题不在多而在于精，在洞察其万变不离其宗的模式，认真完成自我检测可以事半功倍举一反三。