数量关系答题技巧之容斥问题解题思路

　　在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。

　　解答容斥问题需要把握以下公式：

　　(1)两个集合的容斥关系公式：A+B=A∪B+A∩B

　　(2)三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C

　　例题：某单位派60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人? 【10黑龙江】

　　A.12　 B.14　 C.15　 D.29

　　【解析】参考答案C。

　　注意建立容斥关系，要求的是黑色上衣和黑色裤子的相交部分。已知条件告诉我们黑色上衣，黑色裤子各是多少。那么我们只需要知道穿黑色上衣或黑色裤子至少穿一个的人数是多少。即从总人数中去掉不涉及黑色的人数60-12=48. 剩下的就是2元容斥。即答案是(x+y)-参与的总人数=34+29-48=15人。

　　例：如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是：【09国考】

　　A.15 B.16 C.14 D.18

　　【解析】参考答案为B。 这就是典型的容斥原理图形。求解的阴影面积即为三个集合都相交的区域。根据公式(1) A+B+T=290

　　(2) A+2B+3T=64+180+160=404

　　(3) B+3T=24+70+36=130

　　则组合这些表达式就会得到：(1)+(3)-(2)=T=290+130-404=16 故答案是16

　　用文氏图解题

　　文氏图又称韦恩图，能够将逻辑关系可视化的示意图。从文氏图可清晰地看出集合间的逻辑关系、重复计算的次数，最适合描述3个集合的情况。

　　【例题】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?

　　A.34 B.35C.36 D.37

　　解析：画出文氏图。低温柔度、可溶物含量、接缝剪切性能不合格的一共有8+10+9=27种。在上述计算中，两项不合格的产品(图中灰色的部分)被重复计算了1次，三项不合格的产品(黑色的部分)被重复计算了2次。应用容斥原理，不合格的产品共有27-1×7-2×1=18种，合格的有52-18=34种。

　　容斥原理问题解题方法详解

　　(1)容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。

　　(2)容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。

　　(3)容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。

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